大嘴狗狗 - 数学
type: channel
link: https://www.sirit.com.cn/tag/%E6%95%B0%E5%AD%A6/
items: 数学学习的"笨办法"指南
items: 使用 Gemini 来辅导数学作业 01
items: 在 markdown 中使用 Graphviz 绘制韦恩图（思源笔记）
items: 阿布高中数学勘误
items: 【荐书】數學教師不怕被學生難倒了！
items: Mastering AMC 8（掌握AMC 8）学习笔记（1）
items: 普通高中教科书 数学 选择性必修 第一册 知识要点（未完成）
items: 人教版高中数学必修第二册A版知识要点
items: 高一数学 补集 符号
items: 人教版高中数学必修第一册A版知识要点
items: 2021年深圳中考数学卷
items: 北师大版《数学》九年级下册要点
items: 北师大版《数学》九年级上册要点
items: 北师大版《数学》八年级下册要点
items: 北师大版《数学》八年级上册要点
items: 北师大版《数学》七年级下册要点

数学学习的"笨办法"指南
type: item
date: 2026-01-15T11:37:00+08:00
description: 那些成就"数学学霸"的，往往不是花里胡哨的技巧，而是最"笨"的坚持。笨方法，才是真功夫。步骤一：死磕基础，夯实根基吃透核心概念从最基础的计算训练到重要概念公式的理解不放过任何一个细节确保选择题前八道和填空题前两道的分都能拿完定时不定量练习每天安排 5-10 分钟的基础练习练习标准：可接受、可持续、细水长流选择适合孩子年级和水平的练习内容固定练习节奏长期坚持，形成习惯避免过多造成心理负担避免过少达不到效果步骤二：吃透题型，掌握规律整理真题，分析命题收集近五年的真题逐题分析：怎么找关键词、怎么联系知识点、怎么理清做题思路归纳同类题思路讲完真题后立即练习课后布置同类题巩固复习第二节课归纳总结做题思路专题突破每节课有明确目标（如函数专题）针对性布置作业，上传批改错题第二天重点讲解，不留尾巴步骤三：错题复盘，精准提升三问法整理错题这题考什么知识点？我错在哪（是公式记错还是思路偏了）？同类题有什么共性？高效错题管理每道错题附一道同类题练习精简抄题：只需记关键条件句，意思完整即可错因标注和类型分析定期复盘机制每周日晚上：翻阅一周错题，清空本周学习任务每次考试前：重点关注非知识性错误寒暑假：复习上学期的重难点步骤四：应用题慢读，五步解题指读 + 划关键词关键词是做题和思考的根据越显眼，题目逻辑越清晰配图标出已知条件没有图自己尝试画图让画面感刺激大脑，启发思维明确问题建立强烈的目标意识明确自己做眼前题目想要什么不跳步骤，规范书写避免思路性错误规范过程很重要检查单位、填空、答句这些是最冤枉的扣分点坚决不吃哑巴亏步骤五：难题憋一憋，独立思考自我挑战阶段圈画关键词，整理能想到的信息试着写开头的两三步找出自己的卡点在哪里寻求适度帮助带着问题去寻求帮助老师/家长适度引导，提示关键点启发式反问，不直接给答案保留思考空间最大限度保留独立思考机会即使费时费力也值得独立解题带来成就感，鼓励下次挑战步骤六：落实复习，螺旋上升随时随地的复习形式随手翻阅课本、错题本查找例题、整理笔记给父母讲题、跟同学讨论做小测试、做家庭作业抓住关键时间节点每周日晚上：复盘本周错题本每次考试前：翻阅课本、做复习卷寒暑假：复习上学期重难点，为新学期打基础心理零负担把复习看得轻松、简单不固定形式，不设压力自然螺旋式上升总结：数学学习的真相没有"一招致胜"的秘籍那些看起来"有点笨"的方法才能带来最扎实、最长足的进步慢就是快踏踏实实做好每一个基础的日常动作完成每一项眼前的任务用坚持的力量，开出最美的花三抓原则抓基础：把常考的核心概念吃透抓题型：把真题吃透，知道考什么、怎么考抓错题：用三问法整理，把漏洞补牢、把思路理通好老师的标准不绕弯子、不费时间不让孩子盲目刷题帮孩子知道每一分都该怎么拿让孩子的努力不算白费核心心态选对方法，持续坚持克服遗忘，螺旋上升积累数学底蕴，基础扎实行稳致远笨方法，才是真功夫。从现在开始，用最朴实的坚持，换取最扎实的提升。

使用 Gemini 来辅导数学作业 01
type: item
date: 2025-12-23T10:25:00+08:00
description: 要给小朋友讲一些数学题目，感觉干巴巴的给小朋友讲，有点无趣。众所周知，现在的孩子大部分是不喜欢学习的，尤其对数学这个科目比较头疼，如何提高他们的学习兴趣，特别是对数学的兴趣尤为重要。最近正好在用 Gemini，尝试了一下，结果十分惊艳😄数学题目（北师大四年级上册）如下：乐乐的计算器上的数字键2和9坏了，他要计算345X29，该怎么办?南湖路的一边有一排新安装的路灯，每相邻两盏路灯之间的距离是60米,笑笑数了数，一共有125盏路灯(路的两端都安装了路灯)。南湖路长多少米?用2,3,4,58这五个数字组成一个三位数和一个两位数。怎样组合可使两个数的乘积最大?一个八位数,各数位上的数字之和是48。这个数最大是多少?金峰商场从工厂批发了95台洗衣机，每台450元，商场按599元一台进行销售，在卖出50台后，开始降价销售,降价后每台399元，最终将这些洗衣机全部售出。你认为商场是赚钱还是赔钱?赚了多少元或赔了多少?请说明你的理由。用一个杯子向空瓶里倒水，如果倒进3杯水，那么连瓶共重540克;如果倒进5杯水，那么连瓶共重820克。一个空瓶重多少克?一只松鼠在树洞里屯了一堆松子，进人冬季后，松鼠开始从树洞里取出松子过冬。第一次取出全部的一半多2个，第二次取出剩下的一半少3个，最后还剩下26个。这堆松子原来有多少个?爸爸说:"我今年的年龄先加上16，然后除以4，再减去3后乘8，恰好是96岁。"爸爸今年多少岁?某书店九月份卖出280本<<小学生之友>>，十月份卖出的比九月份卖出的3倍少76本。这两个月一共卖出多少本<<小学生之友>>?小马虎25(A8)错写成了25XA十8，他们的结果相差多少?已知A=987654X876543，B=987653X876544，比较A和B的大小。甲、乙、丙三人各有若干元，甲拿出一半平分给乙、丙;乙又拿出现有钱的半平分给甲、丙;最后丙拿出现有钱的一半平分给甲、乙，这时他们各有320元。三人原来各有多少元?与 Gemini 的对话：我有一些数学题，我想把这些数学题串联起来编成一个故事，这样对小学生来说更有吸引力。你可以根据我给的题目编写一个ppt文档，里面有根据数学题目改编的故事，当然不能只有故事，还是要有数学题目的，你可以更改我给的数学题目里面的内容，但是计算的逻辑和题目里面的数字不要改动。Gemini3 pro says:好的，这个创意非常棒！把数学题融入故事（“情境化教学”）能极大地提高小学生的兴趣和专注度。为了帮您制作这个PPT大纲和内容，我需要先知道您想用哪些数学题。不过，在您提供题目之前，我可以先为您提供几个故事主题（模板）供您选择。一旦您选定主题并把题目发给我，我就能立刻帮您把题目“镶嵌”进去。请先选择一个孩子们喜欢的主题：A. 侦探解谜风： 《名侦探小柯南的挑战书》情境： 博物馆的宝石丢了，嫌疑人留下了带有数字密码的线索。用法： 每一道数学题的答案，都是打开下一扇门或解开下一个线索的“密码”。B. 魔法冒险风： 《哈利与魔法药水》情境： 为了拯救生病的独角兽，需要配置一种特殊的药水。用法： 题目的数字代表药水的配比、魔法咒语的次数，或者飞行扫帚的速度。C. 模拟经营风： 《小小超市大老板》情境： 孩子刚刚继承了一家即将倒闭的便利店，需要通过计算进货、找零来让店铺起死回生。用法： 适合应用题（加减乘除、钱币计算），非常贴近生活。D. 科幻太空风： 《火星救援行动》情境： 飞船燃料不足，需要计算轨道、燃料剩余量才能安全返回地球。用法： 适合距离、速度、时间或者几何图形类的题目。接下来请您回复我两样东西：您选择的主题（比如：我选 A 侦探风）。您的数学题目（直接把题目发给我，或者拍照片把字打出来）。举个例子：“我选A侦探风。题目是：小明有5个苹果，小红比他多3个，小红有几个？长方形长10米，宽5米，面积是多少？”等您把题目发给我，我就会为您生成一份详细的 PPT 逐页内容设计（包含每一页的故事旁白、修改后的题目文案、以及画面建议）。您准备好了吗？请把题目发给我吧！我说：我选A侦探风。题目是：乐乐的计算器上的数字键2和9坏了，他要计算345X29，该怎么办?南湖路的一边有一排新安装的路灯，每相邻两盏路灯之间的距离是60米,笑笑数了数，一共有125盏路灯(路的两端都安装了路灯)。南湖路长多少米?用2,3,4,58这五个数字组成一个三位数和一个两位数。怎样组合可使两个数的乘积最大?一个八位数,各数位上的数字之和是48。这个数最大是多少?金峰商场从工厂批发了95台洗衣机，每台450元，商场按599元一台进行销售，在卖出50台后，开始降价销售,降价后每台399元，最终将这些洗衣机全部售出。你认为商场是赚钱还是赔钱?赚了多少元或赔了多少?请说明你的理由。用一个杯子向空瓶里倒水，如果倒进3杯水，那么连瓶共重540克;如果…

在 markdown 中使用 Graphviz 绘制韦恩图（思源笔记）
type: item
date: 2025-11-01T19:24:00+08:00
description: 一直使用思源笔记编辑数学 markdown 文档，遇到了一些编辑上的麻烦。1、在编辑因式分解里面的 “十字相乘法” 的时候，无法实现中间的那两根交叉线；目前的想法是，先预留好中间的空间，等导出成PDF文件后，再用PDF编辑工具（我用的是UPDF，买了会员，不过这个软件的手写功能太差了，好久之前提了建议还没改）添加上两条交叉的线段；2、需要绘制韦恩Venn图一种方法在用其他软件绘制，保存成图片插入到 markdown 中，不太喜欢外挂的模式；研究了一下，发现思源笔记的 markdown 带有 GraphViz 的绘图功能，不过网上的教程都稀烂。还好有Deep Seek，一边问，一边改，终于成功了。代码如下：digraph Recommended { layout=neato // 图形节点（无标签） node [shape=ellipse, style="solid", fillcolor="none", fixedsize=true, label=""] A [width=2, height=0.8, pos="0,0!"] node [shape=ellipse, style="solid", fillcolor="none", fixedsize=true, label=""] B [width=0.9, height=0.6, pos="0.3,0!"] // 标注节点 node [shape=none, fontsize=18, fillcolor="none"] LabelA [label="A", pos="0.3,0!"] LabelB [label="B", pos="-0.5,0!"] }

阿布高中数学勘误
type: item
date: 2025-10-28T18:33:00+08:00
description: 感觉对现在的高中数学很陌生，好像和自己当初学的完全不一样了，那就不如再从头学一遍。网上比较流行 B 站的阿不高中数学和一数高中数学，有人说阿不的相对比较基础，那就先从阿不看起来吧，而且阿不有配套800多页的讲义和对应例题，也比较方便。【v1.0】阿不魔法书 · 高中数学，来啦！！：https://mp.weixin.qq.com/s/wiYzNXkLwrlOSLD41FPgLg阿不高中数学：https://www.bilibili.com/video/BV1KN411n7pp一数高中数学：https://www.bilibili.com/video/BV1VD4y1D7UB学习的时候发现视频和讲义里面有些小错误，记录一下：=================讲义==================================视频=================【初高衔接】1.2 对称式、主元思想 例题（12分钟左右）：把 $2a^2$ 写成了 $a^2$；

【荐书】數學教師不怕被學生難倒了！
type: item
date: 2025-09-11T09:47:00+08:00
description: Ron老师在他的学习交流群推荐了这本书《數學教師不怕被學生難倒了！》，如你所见，繁体中文，简介如下：為配合香港數學教育的發展，並向教師提供更多參考資料，課程發展處數學教育組於 2007 年開始邀請大學學者及資深老師撰寫專文，並蒐集及整理講座資料，輯錄成《數學百子櫃系列》。《數學百子櫃系列》的目录见香港教育局官网：https://www.edb.gov.hk/tc/curriculum-development/kla/ma/res/treasure-trove.html这本书是“数学百子柜系列”的第十四本，目录如下：目錄第一章 數及其運算 1第一節 數系及其擴展 1一、整數 1二、分數 27三、小數 45四、負數 59五、指數與對數 64第二節 數系的結構與性質 81一、數系的擴展與三次數學危機 81二、數系的逐步建立 85三、群、環與域 88第二章 代數 92第一節 符號及其意義 93一、符號概念 94二、符號運算 97第二節 多項式及其運算 99一、數域、一元多項式及多元多項式 100二、餘式定理、最大公因式與因式分解 101三、多項式除法 105第三節 方程、函數與不等式 105一、一元二次方程 105二、方程論的基本認識 113三、函數 115四、不等式 129五、數列 139第三章 圖形與空間 143第一節 圖形 143一、對點、線、面和體的認識 143二、圖形與空間 145三、幾何圖形的本質特徵 146第二節 演繹幾何 162一、公理與定理 162二、《原本》的公理系統 163三、希爾伯特公理系統 166第三節 教學用的公理系統 167一、公理體系的價值 167二、鄰區公理系統 168三、定理的論證：由實驗幾何過渡到論證幾何 169四、幾何變換 171第四節 空間能力 178第四章 測量 180第一節 測量簡介 180一、長度的量度 181二、面積的測量 188三、圓周與圓面積 195四、體積的測量 197五、表面面積 201六、角度 202七、維度 202第二節 國際單位 203一、國際單位制（ SI）的起源 203二、國際單位制（ SI）的內容 204三、單位的冪 207四、角度的單位 209第三節 測量誤差 209一、誤差 209二、誤差的處理 213三、誤差的運算 215第五章 統計與概率 217第一節 統計 217一、統計數據 217二、統計數據展示 222三、統計量 228四、統計誤用 236第二節 概率 245一、對隨機現象的初步探討 245二、古典概型 248三、幾何概型 250第三節 概率與統計的關係 253一、試驗概率和理論概率 253二、概率公理化與建模過程 256国内2012年华中师范大学出版社也出版了本书。《 中华读书报 》（ 2012年09月12日 02 版） 本报讯 在实际教学中，中小学数学教师不时会遇到学生的各种提问。香港中文大学课程与教学学系教授黄毅英的新作《数学教师不怕被学生难倒了》（华中师范大学出版社）帮助广大教师应对教学实际中的数学问题。该书以数学的课程内容为布局，从实际教学中的疑惑出发，将其中涉及的数及其运算、代数、图形与空间、测量、统计与概率等几大数学知识与课堂教学联结在一起，并适当融入一些数学史的知识，重现数学概念或理念的建立过程。其特色是并非立足于数学知识本身，而是从课程出发，展示其中涉及的数学内容，同时整理出中小学数学学习内容的几条主线，具有较强的系统性。书中引用的一些案例均是一线教师在日常教学中遇到的学生实际提问，作者从中引出数学教师所需要知道的数学知识，对教学有实质性帮助。(陈菁霞)相比较而言，看多了国内的许多不同版本的数学课本以及教辅，特别是饱受争议的北师大数学课本，再来看看其他地区的教学资料，一定会有不同感受，得到新的教学内容与方法的启发与借鉴。

Mastering AMC 8（掌握AMC 8）学习笔记（1）
type: item
date: 2023-12-08T22:20:00+08:00
description: 这一段时间除了陪娃学习，就是自我学习，网站断更好久了。“鸡娃不如鸡自己”，近期做了很多小学奥数题，还看了一些课外数学书，收获颇多，在如何更好地给孩子讲数学题方面的技能大涨。最近 AMC 8 的比赛，因为某牛校的带动突然火了起来，之前一直没有认真关注这个比赛。美国数学协会关于 AMC 8的内容：https://maa.org/math-competitions/amc-8AMC 8历届题目与解答：https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/AMC_8_Problems_and_Solutions这回找几本书看一下，都说国外的教材写的浅显易懂，循序渐进，发现 OmegaLearn 网站推出的免费 AMC 8 的书籍还不错，学习一下。OmegaLearn 网站：https://www.omegalearn.org/The Mastering AMC 8 book covers the most important concepts on the AMC 8 exam with video lectures for every topic and hundreds of practice problems with video solutions. This includes problems from AMC 8, MATHCOUNTS, BmMT, EMCC, and many original problems.This book covers the following topics:CombinatoricsAlgebraNumber TheoryGeometryAward: The National Museum of Mathematics organizes the Strogatz Prize for Math Communications which awarded an honorable mention to Mastering AMC 8 book.【说明】全文采用百度翻译完成，稍作修改。网站提供的书籍都需要梯子才能下载，有需要可以留言。前言动机本书旨在全面概述 AMC 8 数学竞赛中最重要的概念。这本书包括每一章的视频讲座，每一个主题的公式，以及数百个带有详细视频解决方案的例子和练习题。本书涵盖以下主题：组合代数数论几何学如何使用本书为了充分利用这本书，请在查看答案之前，尽最大努力解决每个问题！即使你没有解决问题，尝试的行为也会帮助你获得关于问题的有用见解，并帮助你发展做题所需的直觉。每一章都包括该主题的相关公式，以及展示该概念有趣应用的指导性示例问题。有些示例在视频中进行了解释，还有一些示例有详细的解释。所提供的解释不仅旨在展示最终答案，还旨在展示找寻答案背后的思考过程。之后，会有练习题部分，其中包括来自 AMC 8、AMC 10/12、MATHCOUNTS、BMT、EMCC，以及 Omega Learn 的许多原题。这些问题有详细的视频解答。还有补充习题部分，提供更多的问题（更难一些）进行额外的练习。希望这本书中精心策划的例子和习题能提高你解决问题的技能，并帮助你在 AMC 8 比赛中表现得更好。祝你好运！Discord 服务器加入我们的Discord Server，讨论书中的问题，并寻求数学竞赛准备方面的帮助。反馈表如果您有任何反馈，发现任何错误，或认为应该添加到此处的任何有趣的问题，请填写此反馈表或发送电子邮件至info@omegalearn.org.书籍更新我们感谢您的反馈，并将通过添加新的主题和问题定期更新本书。请将 OmegaLearn.org 作为书签以获取这本书的最新版本。关于数学竞赛的信息这些视频为刚开始参加数学比赛或参加 AMC 8 等特定比赛的人提供了一些有用的策略。关于从小学到高中的数学竞赛，你需要了解的全部内容如何准备AMC 10/12并获得AIME和USA(J)MO的资格免费掌握AMC 8课程掌握AMC 8课程这是本书附带的视频课程，包括每章的视频讲座。我们将详细解释本书中的所有重要概念，以及许多展示这些概念应用的有用示例。免费AMC 8基础课程AMC 8基础课程这是一个速成课程，涵盖了AMC 8最重要的基本概念。免费AMC 8高级/MATHCOUNTS课程AMC 8高级/MATHCOUNTS课程这是一个速成课程，涵盖了AMC 8上最重要的先进概念。

普通高中教科书 数学 选择性必修 第一册 知识要点（未完成）
type: item
date: 2022-10-25T14:00:00+08:00
description: 第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其线性运算在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector） 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模（modulus） 空间向量用黑体字母 a，b，c，... 表示，书写用 $\overrightarrow{a}$空间向量用有向线段表示，向量 a 也记作 $\overrightarrow{AB}$，其模记为 |a| 或 $|\overrightarrow{a}|$我们规定，长度为 0 的向量叫做零向量（zero vector），记为 0 模为 1 的向量叫做单位向量（unit vector） 与向量 a 长度相等而方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记为 -a如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量（collinear vectors）或平行向量（parallel vectors）。 我们规定：零向量与任意向量平行。方向相同且模相等的向量叫做相等向量（equal vectors）任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。定义空间向量的加法、减法以及数乘运算：空间向量的线性运算满足以下运算律（其中$λ，μ\in R$）： 交换律：a + b = b + a 结合律：（a+b）+c = a+（b+c），λ(μa) = (λμ)a 分配律：(λ+μ)a = λa+μa，λ(a+b) = λa+λb有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变。一般地，对于三个不共面的向量 a，b，c，以任意点 O 为起点，a，b，c 为邻边作平行六面体，则 a，b，c 的和等于以 O 为起点的平行六面体对角线所表示的向量。对任意两个空间向量 a，b（b ≠ 0），a//b 的充要条件是存在实数 λ，使 a = λb我们把与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量（direction vector） 直线可以由其上一点和它的方向向量确定。平行于同一个平面的向量，叫做共面向量（coplanar vectors）如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使 p = xa + yb1.1.2 空间向量的数量积运算已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作$\overrightarrow{OA}=\textbf{a}$，$\overrightarrow{OB}=\textbf{b}$，则 $\angle AOB$ 叫做向量 a，b 的夹角，记作 $<\textbf{a},\textbf{b}>$ 通常规定，$0\leqslant <\textbf{a},\textbf{b}>\leqslant \pi$，且 $<\textbf{a},\textbf{b}> = <\textbf{b},\textbf{a}>$如果 $<\textbf{a},\textbf{b}>=\frac{\pi}{2}$，那么向量 a，b互相垂直，记作 $\textbf{a}\perp \textbf{b}$已知两个非零向量 a，b，则 $|\textbf{a}||\textbf{b}|cos<\textbf{a},\textbf{b}>$ 叫做 a，b 的数量积（inner product），记作 $\textbf{a}\bullet \textbf{b}$ 特别地，零向量与任意向量的数量积为 0 $\textbf{a}\perp\textbf{b}\Leftrightarrow\textbf{a}\bullet\textbf{b}=0$ $\textbf{a}\bullet\textbf{a}=|\textbf{a}||\textbf{a}|cos<\textbf{a},\textbf{a}>=|\textbf{a}|^2$空间中向量对向量的投影，可以先将它们平移到同一个平面内，利用平面上向量的投影来计算空间向量的数量积满足以下的运算律： $(\lambda\textbf{a})\bullet\textbf{b} =\lambda(\textbf{a}\bullet\textbf{b}),\lambda\in R$ $\textbf{a}\bullet\textbf{b} =\textbf{b}\bullet\textbf{a}$ 交换律 $(\textbf{a}+\textbf{b})\bullet\textbf{c} =\textbf{a}\bullet\textbf{c}+\textbf{b}\bullet\textbf{c}$ 分配律1.2 空间向量基本定理定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数…

人教版高中数学必修第二册A版知识要点
type: item
date: 2022-10-07T08:12:00+08:00
description: 第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念6.1.1 向量的实际背景与概念在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量（vector），而把只有大小没有方向的量称为数量。6.1.2 向量的几何表示通常，在线段 AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设 A 为起点，B 为终点，我们就说线段 AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段（directed line segment）。通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作 $\overrightarrow{AB}$，线段 AB 的长度也叫做有向线段$\overrightarrow{AB}$的长度，记作 $|\overrightarrow{AB}|$有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。向量可以用有向线段$\overrightarrow{AB}$来表示。向量$\overrightarrow{AB}$的大小称为向量$\overrightarrow{AB}$的长度（或称模），记作 $|\overrightarrow{AB}|$提示：以下内容中用粗体 $\textbf{a}$ 来表示向量 $\overrightarrow{a}$长度为 0 的向量叫做零向量（zero vector），记作 $\textbf{0}$，或 $\overrightarrow{0}$长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量（unit vector）6.1.3 相等向量与共线向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vector）我们规定：零向量与任意向量平行长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定。任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量（collinear vectors）6.2 平面向量的运算6.2.1 向量的加法运算求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则、平行四边形法则对于零向量与任意向量 $\textbf{a}$ ，我们规定 $\textbf{a}+\textbf{0}=\textbf{0}+\textbf{a}=\textbf{a}$一般地，我们有 $|\textbf{a}+\textbf{b}|\leqslant|\textbf{a}|+|\textbf{b}|$，当且仅当 $\textbf{a, b}$ 方向相同时等号成立。向量的加法满足交换律和结合律6.2.2 向量的减法运算我们规定，与向量 $\textbf{a}$ 长度相等，方向相反的向量，叫做 $\textbf{a}$ 的相反向量，记作 $-\textbf{a}$。 $-(-\textbf{a})=\textbf{a}$$\textbf{a}+(-\textbf{a})=(-\textbf{a})+\textbf{a}=\textbf{0}$我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。任意向量与其相反向量的和是零向量。求两个向量差的运算叫做向量的减法。 向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。向量 $\textbf{a}-\textbf{b}$ 可以表示为从向量 $\textbf{b}$ 的终点指向向量 $\textbf{a}$ 的终点的向量，这是向量减法的几何意义。6.2.3 向量的数乘运算一般地，我们规定实数 λ 与向量 $\textbf{a}$ 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（multiplication of vector by scalar），记作 $λ\textbf{a}$，它的长度与方向规定如下: （1）$|λ\textbf{a}|=|λ||\textbf{a}|$ （2）当 λ>0 时，$λ\textbf{a}$ 的方向与 $\textbf{a}$ 的方向相同；当 λ<0 时，$λ\textbf{a}$ 的方向与 $\textbf{a}$ 的方向相反。设 λ，μ 为实数，那么 （1）$λ(μ\textbf{a})=(λμ)\textbf{a}$ （2）$(λ+μ)\textbf{a}=λ\textbf{a}+μ\textbf{a}$ （3）$λ(\textbf{a}+\textbf{b})=λ\textbf{a}+λ\textbf{b}$ 特别地，我们有 $(-λ)\textbf{a}=-(λ\textbf{a})=λ(-\textbf{a})$ $λ(\textbf{a}-\textbf{b})=λ\textbf{a}-λ\textbf{b}$向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量线…

高一数学 补集 符号
type: item
date: 2022-10-01T08:29:00+08:00
description: 继续往上看高中数学，感觉有一些数学符号和之前学的不一样了，不知道是不是我的记忆错乱。比如 真子集 ⫋ 或 ⫌ ，完全没有印象，啥时候真子集下面有个不等号了。还有补集，那个瘦瘦高高的 C 又是怎么回事？难道是为了和国际接轨，所以把符号都改了，不至于啊。放大看就这这个样子：感觉这个符号就像大写的 C，于是打开 word 在里面一顿翻找，终于找出差不多的字体，具体效果如下：补集（complementary set）：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 C$_{U}A$，即 C$_{U}A$={x|$x \in U$，且 $x \notin A$}。在 markdown 里面的用法，看下面的代码：C$_{U}A$，即 C$_{U}A$={x|$x \in U$，且 $x \notin A$}注意上面这段代码在 Mac 系统里面居然无效，Mac 里面显示效果如下图：有时间再研究 Mac 下的效果吧。补记：如果你感觉一个东西不存在，大部分原因还是见识少，并不是不存在。这句话的意思是聪明的人比你多的多，或者也可以解释为：你所遇到的问题，99% 之前已经有人遇到过，并且有答案。果然还是见识少，最近一直在写公式，偶尔看到了 LaTeX 符号大全，才发现居然有这个符号，外观如下：$\complement _{U}A$\complement _{U}A

人教版高中数学必修第一册A版知识要点
type: item
date: 2022-09-30T20:09:00+08:00
description: 为啥深圳义务教育阶段的数学使用的是北师大的版本，到了高中就换成人教版了，一开始就用人教版不好吗？第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念元素（element）：一般地，我们把研究对象统称为~集合（set）：一些元素组成的总体叫做~，简称为集。给定的集合，它的元素必须是确定的，集合中的元素是不重复出现的，元素在集合中是无序的。集合相等：构成两个集合的元素是一样的如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于（belong to）集合 A，记作 $a \in A$;如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于（not belong to）集合 A，记作 $a\notin A$。自然数集 N、正整数集 $N^{\ast}或N_{+}$、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法。描述法：一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征 P（x） 的元素 x 所组成的集合表示为 $\{x\in A|P(x)\}$，这种表示集合的方法称为~。1.2 集合间的基本关系子集（subset）：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合 A 为集合 B 的子集，记作 $A\subseteq B$ 或 $B\supseteq A$，读作“A 包含于 B”或“B 包含 A”。Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合的图形。若 $A\subseteq B$ ，且 $B\subseteq A$，则 A = B。真子集（proper subset）：如果集合 $A\subseteq B$，但存在元素 $x \in B$，且 $x \notin A$，就称集合 A 是集合 B 的~，记作A ⫋ B 或 B ⫌ A，读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A”。空集（empty set）：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做~，记为 Ø，并规定：空集是任何集合的子集。任何一个集合是它本身的子集，即 $A\subseteq A$；对于集合 A，B，C，如果 $A\subseteq B$，且 $B\subseteq C$，那么 $A\subseteq C$。1.3 集合的基本运算并集（union set）：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作 $A\cup B$，读作“A 并 B”，即 $A\cup B$={x|$x \in A$，或 $x \in B$}。交集（intersection set）：一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的~，记作 $A\cap B$，读作“A 交 B”，即 $A\cap B$={x|$x \in A$，且 $x \in B$}。全集（universe set）：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及到所有元素，那么就称这个集合为~，通常记作 U。补集（complementary set）：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 C$_{U}A$，即 C$_{U}A$={x|$x \in U$，且 $x \notin A$}。有限集：含有限个元素的集合，用 card（A）来表示有限集合 A 中元素的个数。一般地，对任意两个有限集合 A，B，有 card（$A\cup B$）= card（A）+card（B）- card（$A\cap B$）图解法解决复杂的交集、并集问题有明显的优越性。1.4 充分条件与必要条件1.4.1 充分条件与必要条件一般地，“若 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q。这时，我们就说，由 p 可以推出 q，记作 $p\Rightarrow q$，并且说，p 是 q 的充分条件（sufficient condition），q 是 p 的必要条件（necessary condition）。如果“若 p，则 q”为假命题，那么由条件 p 不能推出结论 q，记作 p ⇏ q。此时，我们就说 p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件。一般来说，对给定结论 q，使得 q 成立的条件 p 是不唯一的。一般来说，给定条件 p，由 p 可以推出的结论 q 是不唯一的。一般地，要判断“若 p，则 q”形式的命题中 q 是否为 p 的必要条件，只需判断是否有“$p\Rightarrow q$”，即“若 p，则 q”是否为真命题。一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条…

2021年深圳中考数学卷
type: item
date: 2022-09-26T09:11:00+08:00
description: 连续几天把北师大版的初中数学课本翻了一遍，把重要的知识点一篇篇记录了下来：北师大版《数学》七年级上册要点北师大版《数学》七年级下册要点北师大版《数学》八年级上册要点北师大版《数学》八年级下册要点北师大版《数学》九年级上册要点北师大版《数学》九年级下册要点当初自己上初中学数学的情况已然忘的一干二净，但现在重新翻看，一点点模糊的印象还是有的。现如今的初中数学，总体上感觉就是小学数学的加深版，新概念不是很多，很多知识点我已经讲给了恩宝。目前恩宝已经学完了四年级的数学课本，在做习题复习巩固，11月份还有个数学竞赛参加一下练练手，因此也不准备往前学五年级的内容，比赛完再说，争取放假前学完五上的数学，寒假把五下学完就差不多了。回过头来说初中数学，每一本大概五六章，最后一学期才三章，看完书之后就找了乐宝当年考试的试卷来练手，考了八十多分。但似乎最后一题最后一小问，需要用到三角函数的平方公式： $sin^{2}α+cos^{2}α = 1$，这个是高中数学的知识点。课本上也许有这个知识点的拓展，回头我再翻看一下。又翻了一下课本，认真查找发现了一道例题：$$sin^{2}60°+cos^{2}60°-tan45°$$还有，章节复习题里面也有两题：$$cos^{2}30°+sin^{2}30°-tan45°$$ $$sin^{2}30°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos^{2}30°$$老师上课的时候应该会讲这个知识点，毕竟这个平方公式也比较好证明。2021深圳中考数学试卷（带答案）PDF文档：感兴趣的请点击下载：2021深圳中考数学试卷（带答案）.PDF

北师大版《数学》九年级下册要点
type: item
date: 2022-09-22T19:19:00+08:00
description: 亲爱的同学，祝贺你迎来了义务教育阶段最后一个学期的数学学习生活！一 直角三角形的边角关系1、锐角三角函数正切（tangent）：在 $Rt\triangle ABC$ 中，如果锐角 A 确定，那么 $\angle A$ 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 $\angle A$ 的正切，记作 tan A，即$tan A = \frac{\angle A 的对边}{\angle A 的邻边}$tan A 的值越大，梯子越陡。正切也经常用来描述山坡的坡度。坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）。正弦（sine）：在 $Rt\triangle ABC$ 中，如果锐角 A 确定，那么 $\angle A$ 的对边与斜边的比便随之确定，这个比叫做 $\angle A$ 的正弦，记作 sin A，即$sin A = \frac{\angle A 的对边}{斜边}$余弦（cosine）：在 $Rt\triangle ABC$ 中，如果锐角 A 确定，那么 $\angle A$ 的邻边与斜边的比便随之确定，这个比叫做 $\angle A$ 的余弦，记作 cos A，即$cos A = \frac{\angle A 的邻边}{斜边}$三角函数（trigonometric function）sin A 的值越大，梯子越陡；cos A 的值越小，梯子越陡。2、30°，45°，60° 角的三角函数值3、三角函数的计算用科学计算器求三角函数已知三角函数值，反求角度4、解直角三角形解直角三角形：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程。在直角三角形的 6 个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三格元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来。5、三角函数的应用6、利用三角函数测高二 二次函数1、二次函数二次函数（quadratic function）：一般地，若两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 $y=ax^{2}+bx+c$（a，b，c 是常数，$a\neq 0$）的形式，则称 y 是 x 的二次函数。2、二次函数的图像与性质二次函数 $y=x^{2}$ 的图象是一条抛物线（parabola），它的开口向上，且关于 y 轴对称。对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点。一般地，平移二次函数 $y=ax^{2}$ 的图象便可得到二次函数 $y=a(x-h)^{2}+k$ 的图象。a > 0，开口向上，a < 0，开口向下；对称轴直线 x = h ；顶点坐标（h，k）二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 图象的对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})$。3、确定二次函数的表达式通过图象经过的点来反推二次函数的各项系数，从而得到二次函数表达式4、二次函数的应用5、二次函数与一元一次方程二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 的图象与 x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。与此相对应，一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根。二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 的图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 的根。三 圆1、圆圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。定点就是圆心，定长就是半径。以点 O 为圆心的圆记作 $\bigotimes O$，读作“圆 O”。弦（chord）：连接圆上任意两点的线段直径（diameter）：经过圆心的弦圆弧：圆上任意两点间的部分。优弧、劣弧半圆（semicircle）：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做~等圆（equal circles）：能够重合的两个圆等弧（equal arcs）：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内。2、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。*3、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平方弦所对的弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。4、圆周角和圆心角的关系圆周角（angle of circumference）：顶点在圆上，两边分别与圆还有交点圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形（insc…

北师大版《数学》九年级上册要点
type: item
date: 2022-09-21T21:47:00+08:00
description: 一 特殊平行四边形1、菱形的性质与判定菱形（rhombus）：有一组邻边相等的平行四边形定理：菱形的四条边相等。定理：菱形的对角线互相垂直。定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。定理：四边相等的四边形是菱形。2、矩jǔ形的性质与判定矩形（rectangle）：有一个角是直角的平行四边形定理：矩形的四个角都是直角。定理：矩形的对角线相等。定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。定理：对角线相等的平行四边形是矩形。定理：有三个角是直角的四边形是矩形。3、正方形的性质与判定正方形（square）：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分。定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。定理：有一个角是直角的菱形是正方形。定理：对角线相等的菱形是正方形。二 一元二次方程1、认识一元二次方程整式方程：等号两边都是关于未知数的整式的方程一元二次方程（quadratic equation with one unknown）：只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化成 $ax^{2}+bx+c=0$（a，b，c 为常数，$a\neq 0$）的形式，这样的方程叫做~。我们把 $ax^{2}+bx+c=0$（a，b，c 为常数，$a\neq 0$）称为一元二次方程的一班形式，其中 $ax^{2}$，bx，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a，b 分别称为二次项系数和一次项系数。2、用配方法求解一元二次方程配方法（solving by completing the square）：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根3、用公式法求解一元二次方程对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq 0$），当 $b^{2}-4ac\geqslant 0$ 时，它的根是：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$ ，这个式子称为一元二次方程的求根公式。公式法（solving by formular）：用求根公式解一元二次方程的方法对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq 0$），当 $b^{2}-4ac > 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；当 $b^{2}-4ac = 0$ 时，方程有两个相等的实数根；当 $b^{2}-4ac < 0$ 时，方程没有实数根。根的判别式：$b^{2}-4ac$，通常用希腊字母delta“Δ”来表示。4、用因式分解法求解一元二次方程如果 $a\cdot b=0$，那么 a = 0 或 b = 0。因式分解法：让一元二次方程的一边为 0，把另一边分解成两个一次因式的乘积。*5、一元二次方程的根与系数的关系如果方程 $ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq 0$） 有两个实数根 $x_{1}$，$x_{2}$，那么$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ ， $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。6、应用一元二次方程三 概率的进一步认识1、用树状图或表格求概率2、用频率估计概率四 图形的相似1、成比例线段两条线段的比（ratio）：长度比，即 AB ：CD = m ：n，或写成 $\frac{AB}{CD}=\frac{m}{n}$。AB 叫做线段比的前项，CD 为后项。成比例线段（proportional segments）：四条线段a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么 ad = bc 。如果 ad = bc（a，b，c，d 都不等于 0），那么 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=...=\frac{m}{n}(b+d+...+n\neq 0)$ ，那么 $\frac{a+c+...+m}{b+d+...+n}=\frac{a}{b}$。2、平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。3、相似多边形相似多边形（similar polygons）：各角分别相等、各边成比例的两个多边形，符号“$\backsim$”，读作“相似于”。相似比（similarity ratio）：相似多边形对应边的比4、探索三角形相似的条件相似三角形（similar triangles）：三角分别相等、三边成比例的两个三角形定理：两角分别相等的两个三角形相似。定理：两边成比例且…

北师大版《数学》八年级下册要点
type: item
date: 2022-09-20T17:49:00+08:00
description: 一 三角形的证明1、等腰三角形定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）全等三角形的对应边相等、对应角相等。定理：等腰三角形的两底角相等，简述为：等边对等角。推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等角对等边。反证法（reduction absurdity）：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。定理：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形。定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、直角三角形定理：直角三角形的两个锐角互余。定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平法，那么这个三角形是直角三角形。互逆命题：在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件。逆定理：一个定理的逆命题经过证明是真命题定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简述为“斜边、直角边”或“ HL ”。3、线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。4、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角度平分线上。二 一元一次不等式与一元一次不等式组1、不等关系不等式（inequality）：一般地，用符号"<"（或“$\leqslant$”），“>”（或“$\geqslant$”）连接的式子叫做~2、不等式的基本性质性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。3、不等式的解集不等式的解：能使不等式成立的未知数的值不等式的解集（solution set）：一个含有未知数的不等式的所有解解不等式：求不等式解集的过程不等式解集的数轴表示：空心圆圈不包含、实心圆圈包含4、一元一次不等式一元一次不等式（linear inequality with one unknown）：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 15、一元一次不等式与一次函数通过图象观察不等式的取值范围一元一次不等式描述了问题中两个变量满足某些特定条件时的状态6、一元一次不等式组一元一次不等式组（system of linear inequalities with one unknown）：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个 ~。一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分解不等式组：求不等式组解集的过程三 图形的平移与旋转1、图形的平移平移（translation）：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。平移不改变图形的形状和大小。一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等。一个图形依次沿 x 轴方向、y 轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的。2、图形的旋转旋转（rotation）：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度。这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。旋转不改变图形的形状和大小。一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。3、中心对称中心对称（central symmetry）：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或~，这个点叫做它们的对称中心（centre of symmetry）。成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。中心对称图形：把一个图形绕某个点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合，这个点叫做它的对称中心。4、简单的图案设计四 因式分解1、因式分解因式分解（factorization）：把一个多项式化成几个整式的积的形式2、提公因式法公因式（common factor）：多项式各项都含有的相同因式提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做~。负号要提出来3、公式法…

北师大版《数学》八年级上册要点
type: item
date: 2022-09-19T21:39:00+08:00
description: 一 勾股定理1、探索勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$。2、一定是直角三角形吗如果三角形的三边长 a，b，c 满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形。勾股数：满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 的三个正整数3、勾股定理的应用蚂蚁爬圆柱二 实数1、认识无理数无理数（irrational number）：无限不循环小数2、平方根算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 $x^{2}=a$，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记作 $\sqrt{a}$，读作“根号 a”。我们规定：0 的算术平方根是 0，即$\sqrt{0}=0$。平方根（二次方根 square root）：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 $x^{2}=a$，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根。一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。正数 a 有两个平方根，分别是 $\sqrt{a}$ 与 $-\sqrt{a}$，它们互为相反数，合起来记作 $\pm\sqrt{a}$，读作“正、负根号 a”。开平方（extraction of square root）：求一个数 a 的平方根的运算，a 叫做被开方数。3、立方根立方根（三次方根 cube root）：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 $x^{3}=a$，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根。每个数 a 都有一个立方根，记作 $\sqrt[3]{a}$，读作“三次根号 a”。正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。开立方（extraction of cubic root）：求一个数 a 的立方根的运算，a 叫做被开方数。4、估算5、用计算器开方6、实数实数（real number）可以分为有理数和无理数，也可以分为正实数、0、负实数。实数和数轴上的点是一一对应的。7、二次根式二次根式：一般地，形如 $\sqrt{a} (a\geqslant 0)$ 的式子叫做~，a 叫做被开方数。$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} (a\geqslant 0,b\geqslant 0)$，$\sqrt{a\over b}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geqslant 0,b > 0)$。积的算术平方根，等于算术平方根的积；商的算术平方根，等于算术平方根的商。最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式。化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geqslant 0,b\geqslant 0)$，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{a\over b}(a\geqslant 0,b > 0)$。三 位置与坐标1、确定位置在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。2、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系（rectangular coordinates system）。右上方的部分叫做第一象限，逆时针方向依次叫做第二象限...。坐标轴上的点不在任何一个象限内。在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。3、轴对称与坐标变化关于 x 轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。关于 y 轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。四 一次函数1、函数一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数（function），其中 x 是自变量。表示函数的方法一般有：列表法、关系式法和图像法。对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。2、一次函数与正比例函数若两个变量 x，y 间的对应关系可以表示成 y = kx + b（k，b为常熟，$k\neq 0$）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（linear function）。特别地，当 b = 0 时，称 y 是 x 的正比例函数。3、一次函数的图象（graph）正比例函数 y = kx 的图象是一条经过原点（0，0）的直线。在正比例函数 y = kx 中，当 k > 0 时，y 的值随着 x 值的增大…

北师大版《数学》七年级下册要点
type: item
date: 2022-09-18T20:13:00+08:00
description: 一 整式的乘除1、同底数幂的乘法$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ （m，n 都是正整数）。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2、幂的乘方与积的乘方球的体积公式：$V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ （r 是球的半径）$(a^{m})^{n}=a^{mn}$ （m，n 都是正整数）。幂的乘方，底数不变，指数相乘。$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ （n是正整数）。积的乘方等于乘方的积。3、同底数幂的除法$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$ （$a \neq 0$，m，n 都是正整数，且 m > n ）。同底数幂相除，底数不变，指数相减。$a^{0}= 1$ （$a \neq 0$）；$\large a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}$ （$a \neq 0$，p 是正整数）。微米： 1μm = 0.000 001m = $1\times 10^{-6}m$纳米：1nm 为十亿分之一米，即 $10^{-9}m$。4、整式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。5、平方差公式$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$。两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。6、完全平方公式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$杨辉三角/贾宪三角/帕斯卡三角形7、整式的除法单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。二 相交线与平行线1、两条直线的位置关系相交线（intersection lines）：两条直线只有一个公共点平行线（parallel lines）：在同一平面内，不相交的两条直线对顶角（vertical angles）相等补角（supplementary angle）：两个角的和是180°余角（complementary angle）：两个角的和是90°同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。垂直（perpendicular）：两条线相交成四个角，如果有一个角是直角。垂线、垂足，记作$AB\perp CD$。平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。2、探索直线平行的条件两条直线被第三条直线所截，如果同位角（corresponding angles）相等，那么这两条直线平行。简称为：同位角相等，两直线平行。记作 AB // CD。过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。平行于同一条直线的两条直线平行。两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称为：内错角相等，两直线平行。两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称为：同旁内角互补，两直线平行。3、平行线的性质两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简称为：两直线平行，同位角相等。两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简称为：两直线平行，内错角相等。两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简称为：两直线平行，同旁内角互补。测量地球的周长4、用尺规作角三 变量之间的关系1、用表格表示的变量（variable）间关系自变量（independent variable）、因变量（dependent variable）、常量（constant）2、用关系式表示的变量间关系3、用图象表示的变量间关系四 三角形1、认识三角形三角形（triangle）记作 $\bigtriangleup ABC$三角形三个内角的和等于180°。按三角形内角大小分：锐角三角形（acute triangle）、直角三角形（right triangle）、钝角三角形（obtuse triangle）直角三角形直角所对的边称为斜边（hypotenuse），夹直角的两条边称为直角边（leg）。直角三角形（$Rt\bigtriangleup ABC$）的两个锐角互余。三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。三角形的中线（median）：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段。三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。三角形的三条角平分线交于一点。三角形的高线（height）：从三角…